終わるモノと終わらないモノとその間にあるモノ

GEBを読んでいて面白かったので色々と。

数論の未解決問題にゴールドバッハの予想というモノがある、

◆ゴールドバッハの予想 - Wikipedia

これは、「6以上の偶数は、二つの寄の素数の和で表せる」と言うモノで、

例えば、

6 = 3+3, 8 = 3+5, 10 = 3+7 = 5+5,
12 = 5+7, 14 = 3+11 = 7+7, 16 = 3+13 = 5+11,
18 = 5+13 = 7+11, 20 = 3+17 = 7+13

と言うようなモノを言うモノらしい。モチロン未解決なのでこの問題は証明されていない。

これに対峙して、「二つの奇の素数の差が偶数となる」様な事を考える

例えば、

2=5-3,7-5,13-11,19-17…
4=7-3,11-7,17-13…
6=11-5,13-7,17-11,19-13…
8=11-3,13-5,19-11,31-23…

といった感じである。

以上の二つの問題は大変似たものに見えるが、次の用に考えると、全く正反対の問題に見えてくる。

この時或る偶数2Nが以上の二つの特性を持つか否かを考えるとする。

前者の問題に対しては、有限な2Nに対して、必ずその解を探索し終了することが可能(二つの奇素数数は必ず有限な2N-1以下だから)だが、後者の問題に関しては、(探索区間が無限なため)探索が終わるという保証はない(終わるかもしれないし、終わらないことも考えられる)。

また、前者の問題は、調べる上での探索が、必ず終了するだけではなく、いつまでに終わるかという予測を付けることが出来た、しかし、これに対して、探索が終わる事は分かっているが、いつ終わるかが分からないと言うような問題も考えられるとも述べられている。が、その様な自然数の特性を定義する事は容易でもなく自然でもない。その代わりに、定義するのは、容易であるが、終結するテストが一つとして知られていない(一つもないのではない)問題が挙げられている。

それは、「ある自然数Nに対して、それが奇数なら3倍して+1、偶数なら2分の1にしていき、1に到達するような数か否か」と言う問題で、Nにその様な性質があるかどうかを調べると言うモノであるが、これを調べることは、一見予想できない。試しにいくつかの数について考えると、

N=3

3*3+1=10

10/2=5

5*3+1=16

16/2=8

8/2=4

4/2=2

2/2=1!!!

N=7

7*3+1=22

22/2=11

11*3+1=34

34/2=17

17*3+1=52

52/2=26

26/2=13

13*3+1=40

40/2=20

20/2=10

10/2=5

5*3+1=16

16/2=8

8/2=4

4/2=2

2/2=1!!!

と言った類であり、Nを1から10まで動かすと、その終了までの繰り返し数は2,8,3,6,9,17,4,20,7となり、まったく規則が見いだせないモノである。

この様な感じに、数論は終わりが来る問題と終わりが来ない問題、そして、終わりがあっても、それがいつ終わるか分からないようなものといった具合に分けられるらしく、その中でも一番最後の終了が決まっているが予測不可能な問題というのが非常にやっかいな性質を招くらしい。

と言うことまでは分かった。

参照：「ゲーデル、エッシャー、バッハ　あるいは不思議の環」アリアと様々な変奏　p.392

ゲーデル、エッシャー、バッハ―あるいは不思議の環 20周年記念版 Douglas R. Hofstadter 野崎 昭弘 柳瀬 尚紀 白揚社 2005-10 売り上げランキング : 42045 おすすめ平均 Amazonで詳しく見る by G-Tools