GEB

GEBを読んでいて面白かったので色々と。

数論の未解決問題にゴールドバッハの予想というモノがある、

◆ゴールドバッハの予想 - Wikipedia

これは、「6以上の偶数は、二つの寄の素数の和で表せる」と言うモノで、

例えば、

6 = 3+3, 8 = 3+5, 10 = 3+7 = 5+5,
12 = 5+7, 14 = 3+11 = 7+7, 16 = 3+13 = 5+11,
18 = 5+13 = 7+11, 20 = 3+17 = 7+13

と言うようなモノを言うモノらしい。モチロン未解決なのでこの問題は証明されていない。

これに対峙して、「二つの奇の素数の差が偶数となる」様な事を考える

例えば、

2=5-3,7-5,13-11,19-17…
4=7-3,11-7,17-13…
6=11-5,13-7,17-11,19-13…
8=11-3,13-5,19-11,31-23…

といった感じである。

以上の二つの問題は大変似たものに見えるが、次の用に考えると、全く正反対の問題に見えてくる。

この時或る偶数2Nが以上の二つの特性を持つか否かを考えるとする。

前者の問題に対しては、有限な2Nに対して、必ずその解を探索し終了することが可能(二つの奇素数数は必ず有限な2N-1以下だから)だが、後者の問題に関しては、(探索区間が無限なため)探索が終わるという保証はない(終わるかもしれないし、終わらないことも考えられる)。

また、前者の問題は、調べる上での探索が、必ず終了するだけではなく、いつまでに終わるかという予測を付けることが出来た、しかし、これに対して、探索が終わる事は分かっているが、いつ終わるかが分からないと言うような問題も考えられるとも述べられている。が、その様な自然数の特性を定義する事は容易でもなく自然でもない。その代わりに、定義するのは、容易であるが、終結するテストが一つとして知られていない(一つもないのではない)問題が挙げられている。

それは、「ある自然数Nに対して、それが奇数なら3倍して+1、偶数なら2分の1にしていき、1に到達するような数か否か」と言う問題で、Nにその様な性質があるかどうかを調べると言うモノであるが、これを調べることは、一見予想できない。試しにいくつかの数について考えると、

N=3

3*3+1=10

10/2=5

5*3+1=16

16/2=8

8/2=4

4/2=2

2/2=1!!!

N=7

7*3+1=22

22/2=11

11*3+1=34

34/2=17

17*3+1=52

52/2=26

26/2=13

13*3+1=40

40/2=20

20/2=10

10/2=5

5*3+1=16

16/2=8

8/2=4

4/2=2

2/2=1!!!

と言った類であり、Nを1から10まで動かすと、その終了までの繰り返し数は2,8,3,6,9,17,4,20,7となり、まったく規則が見いだせないモノである。

この様な感じに、数論は終わりが来る問題と終わりが来ない問題、そして、終わりがあっても、それがいつ終わるか分からないようなものといった具合に分けられるらしく、その中でも一番最後の終了が決まっているが予測不可能な問題というのが非常にやっかいな性質を招くらしい。

と言うことまでは分かった。

参照：「ゲーデル、エッシャー、バッハ　あるいは不思議の環」アリアと様々な変奏　p.392

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いつも書くのが遅いな。習慣をつけないと。「週刊GEBランキング」みたいなね。

読んだ章は、「小さな和声の迷宮」と第五章「再帰的構造と再帰的過程」。

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毎度おなじみGEB読書会。

今回は遅れていってしまった・・・

ってことで、「あとで書く」

出来れば今週中に・・・

追記：08/01/08

で、結局その後読んだのは年を超した後。

読んだのは「洒落対法題」と第四章「無矛盾生、完全性、および幾何学」

ゲーデルの不完全性定理についてやっと頭が見えてきた感じ。

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また、記録を書くまでに時間が掛かってしまった・・・

今週（っていうか、先週12日）は第三章「図と地」を読みました。satou30とmiyaga50がいなかったので静かだった。

キーワード。

• 「無伴奏ヴァイオリンのためのソナタ」
• ADACが入る英単語って何かある？→わかんねえ
• じゃあ、Hが頭とおしりに入る英単語は？→Headachとかは？
• tqシステム
  • xが‐であれば、xt-qxが公理
  • xty-qzxは新しい定理
    • –t-q–
    • –t–q—-
    • –t—q——
  • x-ty-qzが定理ならば、Czも定理である。zは合成数になる。
  • Cxが定理でなければ、Pxは定理になる？？素数は、合成数以外の自然数だが・・・
    • Cxが定理でないかどうか調べることができるか？
• 図と地。
  • 二重に再帰的な図
  • 認識可能な形であって、その消極的な部分は認識可能でないものが存在する。
  • 筆記的に書ける図であって再帰的でないものが存在する。
    • ↑これが普通(？)
• 再帰的に加算な集合と再帰的集合
  • 形式システムの中には、その消極的な部分がいかなる形式システムの積極的な部分になり得ないものが存在する
  • 再帰的に加算であるが再帰的でない集合が存在する
  • 形式システムの中には、字形的な決定手続きが存在しないものがある
• 素数を形式的に表す
  • 単調生がキー

今度から終わったらその日のうちに記録するように心がけよう。

そう言えば、前回出てきたアキレスと亀のゼノンのパラドクスについて書いてる人がいたので紹介

◆到達しえぬ（不完全な）愛、あるいは、永遠に先延ばしされた（不朽の＝完全な）愛について。 - In its right place
また、あした。
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毎週火曜日はGEB読書会。

今週は二章を読みました。

キーワードを。

• 仮名的命題
• pqシステム
  • –p-q—
    • 2+1=3
  • 同型対応
    • 意味を想像する
    • 対応付け=解釈
  • 解釈はいくらでもある。意味は一つ。
  • 二価性
    • 意味が二つある場合も
• 数学と記号
• 無限の回避
  • for all とか？
• 数学と形式システムの違い=現実から出発しているか？

なんか、自分の中でもまとまっていないなあ。。。

もう少しまとまったら整理し直すかも、ないかも。

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